Besar Sudut Antara Vektor a dan b

Dua buah vektor a dan b dapat terletak saling tegak lurus (membentuk sudut 90^o), sejajar atau terletak pada satu ruas garis (membentuk sudut 0^o), atau membentuk besar sudut tertentu. Besar sudut antara vektor a dan b dapat dinyatakan dalam sebuah persamaan yang menyatakan hubungan antara perkalian titik (dot product) vektor dengan perkalian panjang vektor. Sebuah perkalian titik antara dua vektor yang dinyatakan dalam komponen vektor satuan akan menghasilkan sebuah skalar. Perbandingan antara perkalian titik vektor a dan b dengan perkalian panjang kedua vektor tersebut adalah besar nilai cosinus sudutnya.

Sehingga, dalam meghitung besar sudut antara vektor a dan b membutuhkan pengetahuan cara menghitung panjang vektor dan perkalian titik vektor. Bagaimana cara menentukan besar sudut antara vektor a dan vektor b? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Rumus Besar Sudut Antara Dua Vektor

Sebelum ke cara menghitung besar sudut antara vektor a dan b, ingat kembali bagaimana cara melakukan perkalian titik dan cara menghitung panjang vektor.

Cara melakukan perkalian titik antara dua buah vektor dilakukan pada vektor satuan sejenis. Perkalian vektor satuan yang berbeda akan menghasilkan nilai nol sehingga dapat diabaikan. Misalkan diketahui komponen vektor satuan pada vektor a = a₁i + a₂j + a₃k dan vektor b = b₁i + b₂j + b₃k, maka hasil perkalian titik untuk vektor a dan vektor b adalah (a₁ × b₁) + (a₂ × b₂) + (a₃×b₃).

Baca Juga: Perkalian Silang Vektor (Cross Product Vector)

Panjang vektor dinyatakan dalam huruf vektor dengan lambang tanda mutlak, misalnya |AB| atau |a|. Cara menghitung panjang vektor dapat dilakukan dengan melakukan perhitungan akar kuadrat dari hasil penjumlahan kuadrat bilangan-bilangan komponen vektor satuannya.

Sebagai contoh diketahui sebuah vektor dinyatakan dalam persamaan vektor a = a₁i + a₂j + a₃k. Panjang vektor a dapat dihitung melalui persamaan di bawah.

Selanjutnya, persamaan yang dapat digunakan untuk menghitung besar sudut antara vektor a dan vektor b. Rumus yang dapat digunakan untuk menentukan besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah a · b = |a||b| · cos θ, dengan θ adalah besar sudut antara kedua vektor. Atau dapat juga ditulis dalam bentuk persamaan seperti di bawah.

Jika panjang vektor a, panjang vektor b, dan panjang jumlah kedua vektor diketahui, sobat idschool dapat menggunakan persamaan berikut.

Baca Juga: Vektor yang Saling Tegak Lurus dan Vektor yang Sejajar

Langkah – Langkah Menghitung Besar Sudut Antara Dua Vektor

Melalui contoh penyelesaian masalah di bawah, sobat idschool dapat mempelajari cara menentukan besar sudut antara vektor a dan b. Diketahui dua buah vektor yaitu vektor a dan vektor b dengan komponen vektor satuan seperti berikut.

• Vektor a = i + 2j – k
• Vektor b = 2i + j + k

Berapakan besar sudut antara vektor a dan vektor b?

Pertama, menghitung panjang vektor a:
|a|² = 1² + 2² + (–1)²
= 1 + 4 + 1
= 6
|a| = √6

Kedua, menghitung panjang vektor b:
|b|² = 2² + 1² + 1²
= 4 + 1 + 1
= 6
|b| = √6

Ketiga, perkalian titik vektor a dan vektor b:
a · b = 1 × 2 + 2 × 1 + (–1) × 1
= 2 + 2 – 1
= 3

Menghitung besar sudut vektor a dan vektor b:
a · b = |a||b|·cos θ
3 = √6 · √6 · cos θ
3 = √36 · cos θ
cos θ = ³/₆
cos θ = ¹/₂
θ = 60^o atau 300^o

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh vektor a = 4i + 2j + 2k dan vektor b = 3i + 3j adalah 60^o atau 300^o.

Baca Juga:

• Apa Itu Vektor Satuan?
• Panjang Vektor AB

Contoh Soal dan Pembahasan

Selanjutnya, sobat idschool dapat melatih kemampuan sobat idschool terkait bahasan di atas melalui contoh soal besar sudut antara vektor a dan b, serta bentuk variasi soal lainnya. Salah pengukuran keberhasilan memahami materi adalah mampu mengerjakan soal dengan baik. Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan yang dapat digunakan sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Besar Sudut Antara Dua Vektor

Diketahui vektor a = i +2 j, vektor b = 4i + 2j, dan θ adalah sudut antara vektor a dan b. Nilai sin θ adalah ….
A. ²/₃
B. ³/₅
C. ⁴/₅
D. ⁵/₄
E. ⁵/₃

Pembahasan:

Mencari panjang vektor a, panjang vektor b, dan perkalian kedua vektor.

• Panjang vektor a: |a| = √(1² + 2²) = √5
• Panjang vektor b: |b| = √(4² + 2²) = √20 = 2√5
• Dot product: a · b = 1 × 4 + 2 × 2 = 8

Mencari nilai cos θ dari vektor a dan vektor b:
a · b = |a||b| · cos θ
8 = √5 × 2√5 · cos θ
8 = 10 · cos θ
cos θ = ⁸/₁₀ = ⁴/₅

Mencari nilai sin θ:

Berdasarkan hasil nilai cos θ yang diperoleh maka dapat dibentuk segitiga dengan sisi samping 4 satuan dan sisi miring 5 satuan.

Jadi, nilai sin θ adalah ³/₅.

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal Dua Vektor yang Membentuk Suatu Besar Sudut

Sudut antara vektor a dan vektor b sama dengan 120^o. Jika |a| = 4 dan |b| = 2 maka a · (a + b) = ….
A. 20
B. 18
C. 16
D. 14
E. 12

Pembahasan:

Mencari nilai a · (a + b):
a · (a + b) = a · a + a · b 
= |a||a| cos 0^o + |a||b| cos 120^o
= 4 × 4 × 1 + 4 × 2 × (–¹/₂) = 12

Jadi, nilai a · (a + b) = 12

Jawaban: E

Baca Juga: Perkalian Titik Vektor (Dot Product Vector)

Contoh 3 – Soal Mencari Besar Sudut Antara Kedua Vektor

Pembahasan:

Berdasarkan keterngan pada soal dapat diperoleh informasi seperti berikut.

• Panjang vektor a: |a| = 2
• Panjang vektor b: |b| = 3
• Jumlah panjang vektor a dan vektor b: |a + b| = √19

Mencari besar sudut antara vektor a dan b:
| a + b |² = |a|² + |b|² + |a||b|· cos θ
(√19)² = 2² + 3² + 2 × 2 × 3 · cos θ
19 = 4 + 9 + 12 cos θ
19 – 4 – 9 = 12 cos θ
cos θ = ⁶/₁₂
cos θ = ¹/₂
θ = 60^o atau 300^o 

Sehingga, besar sudut antara vektor a dan vektor b adalah 60^o.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan bahasan besar sudut antara vektor a dan b, serta dengan contoh soal dan pembahasannya. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: 4 Metode Penjumlahan Vektor

Sumber gini.com