Perkalian Silang Vektor (Cross Product: a × b)

Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut besaran vektor. Secara geometris, sebuah vektor merupakan objek geometri berupa ruas garis berarah. Sebuah vektor digambarkan sebagai sebuah anak panah yang memiliki ujung dan pangkal. Titik letak vektor merupakan titik awal letak vektor, sedangkan titik ujung vektor merupakan titik akhir vektor yang ditandai dengan arah anak panah. Sebuah vektor yang berawal di titik A dan berakhir di titik B disebut vektor AB dengan panjang vektor sama dengan panjang ruas garis AB. Panjang ruang garis AB sama dengan jarak titik A ke titik B yang dinyatakan dalam simbol |AB| (panjang vektor AB).

Perkalian vektor dan vektor dapat menghasilkan sebuah skalar atau sebuah vektor baru. Aturan perkalian vektor dengan vektor yang menghasilkan skalar terdapat pada bahasan dot product (perkalian titik). Sedangkan, aturan perkalian vektor dengan vektor yang menghasilkan vektor baru terdapat pada bahasan cross product (perkalian silang). Pada aturan perkalian silang vektor (vector cross product) menghasilkan sebuah vektor baru yang tegak lurus dengan vektor yang dioperasikan. Misalnya pada perkalian silang vektor a dan vektor b menghasilkan vektor c = a × b. Vektor c dari hasil perkalian tersebut adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor a, selain itu vektor c juga tegak lurus dengan vektor b.

Vektor yang tegak lurus dengan vektor a dan vektor b merupakan vektor hasil perkalian silang antara kedua vektor tersebut. Bagaiamana cara melakukan perkalian silang vektor a × b? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Cara Menghitung Panjang Vektor AB

Kaidah Tangan Kanan untuk Menentukan Arah Vektor

Penentuan arah vektor pada perkalian silang dapat menggunakan kaidah tangan kanan yang melibatkan telapak tangan, empat jari, dan jempol/ibu jari. Di mana, telapak tangan menuju arah vektor pertama yang akan dikalikan dan empat jari menuju arah vektor kedua. Kemudian, arah vektor satuan hasil perkalian ditunjukkan oleh ibu jari.

Arahkan empat jari mengikuti arah vektor a, kemudian lipatlah keempat jarimu dari arah vektor a ke arah vektor b melalui sudut terkecil. Ibu jari menunjuk arah vektor c yang menjadi vektor hasil perkalian silang vektor a cross vektor b. Dengan cara yang sama, hasil perkalian silang vektor b dan vektor a (b × a) akan berbeda dengan hasil perkalian silang vektor a dan vektor b (a × b). Sehingga, perkalian silang vektor tidak memenuhi sifat komutatif.

Sifat-sifat perkalian silang atau Cross Product diberikan seperti daftar berikut.

1. Tidak berlaku sifat komutatif: a × b ≠ b × a
2. Berlaku sifat anti komutatif: a × b = – b × a
3. Persamaan untuk kedua vektor a dan b saling tegak lurus: |a × b| = a · b
4. Persamaan untuk kedua vektor a dan b searah: |a × b| = 0
5. Untuk vektor a dan vektor b berlawanan arah: |a × b| = 0

Baca Juga: 4 Metode Penjumlahan Vektor

Menentukan Arah Hasil Perkalian Silang Vektor i, j, k

Cross product atau hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di ruang dimensi tiga (R³) yang menghasilkan vektor tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan. Atau dapat juga dikatakan bahwa perkalian silang antara dua vektor akan menghasilkan vektor baru yang arahnya tegak lurus dengan masing-masing vektor. Persamaan yang memenuhi pengertian dari perkalian silang vektor adalah |a × b| = |a| · |b| sinθ (a, b).

Dalam perkalian silang vektor, selain perkalian nilai perlu juga untuk memperhatikan hasil perkalian arah. Vektor dalam dimensi tiga ditunjuk oleh tiga sumbu yaitu sumbu x, y, dan z. Ketiga sumbu tersebut masing-masing saling tegak lurus satu sama lain. Simbol arah vektor dalam dimensi tiga umumnya ditulis dengan i (searah sumbu x), j (searah sumbu y), dan k (searah sumbu z). Sudut yang dibentuk antara vektor satuan i, j, dan k adalah 90^o (karena saling tegak lurus).

Beradasarkan persamaan yang berlaku pada perkalian silang vektor dapat diperoleh dua kesimpulan.

Pertama adalah perkalian silang antara vektor satuan yang sejenis menghasilkan nilai nol karena sudut yang terbentuk adalah 0^o dan nilai sin 0^o = 0. Sehingga, perkalian vektor satuan yang sejenis akan sama dengan nol.

• i × i = |i|·|i| · sin 0^o= 0
• j × j = |j|·|j| · sin 0^o = 0
• k × k = |i|·|i| · sin 0^o = 0

Kedua, perkalian silang antara vektor satuan yang tidak sejenis menghasilkan arah vektor satuan yang berbeda. Cara menentukan arah vektor satuan i, j, k dapat dilakukan melalui sebuah lingkaran dengan arah vektor satuan i, j, dan k. Urutan perkalian pada lingkaran yang searah dengan putaran jarum jam menghasilkan nilai arah positif. Sedangkan urutan perkalian yang berlawanan arah dengan putaran jarum jam menghasilkan nilai arah negatif.

Penjelasan lebih lanjut diberikan melalui keterangan gambar di bawah.

Penggunaan perkalian arah berguna untuk menyelesaikan soal perkalian silang seperti berikut.

Soal: Diketahui vektor satuan a = 2i – j dan b = 3i, tentukan perkalian silang vektor satuan a dan b!

Baca Juga: Cara Menghitung Resultan Vektor 3 Arah Secara Analitis

Rumus Umum Perkalian Silang Vektor

Cara melakukan perkalian silang vektor pada dimensi tiga dapat dicari menggunakan metode determinan matriks. Sebagai contoh, misalnya vektor c adalah hasil perkalian silang antara vektor a = a_xi + a_yj + a_zk dan b = b_xi + b_yj + b_zk. Maka rumus umum perkalian silang vektor untuk vektor c = vektor a × vektor b dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.

Atau, rumus umum perkalian silang vektor a = a_xi + a_yj + a_zk dan vektor b = b_xi + b_yj + b_zk juga dapat dinyatakan melalui persamaan umum berikut.

a = a_xi + a_yj + a_zk
b = b_xi + b_yj + b_zk
a × b = (a_yb_z – a_zb_y)i + (a_zb_x – a_xb_z)j + (a_xb_y – a_yb_x)k

Penggunaan rumus umum tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan soal seperti berikut.

Soal: Tentukan vektor yang saling tegak lurus dengan vektor a = 3i + j + 2k dan vektor b = –j + 2k!

Diketahui:

• a = 3i + j + 2k
• b = –j + 2k

Sehingga,

• a_x = 3, a_y = 1, a_z = 2
• b_x = 0, b_y = –1, b_z = 2

Vektor yang tegak lurus dengan vektor a dan vektor b merupakan vektor hasil dari perkalian silang a × b.

a × b = (a_yb_z – a_zb_y)i + (a_zb_x – a_xb_z)j + (a_xb_y – a_yb_x)k
a × b = (1 · 2 – 2 · (–1))i + (2 · (0) – 3 · 2)j + (3 · (– 1) – 1 · 0)k
a × b = (2 – (–2))i + (0 – 6)j + (–3 – 0)k
a × b = (2 + 2)i + (– 6)j + (–3)k
a × b = 4i – 6j –3k

Jadi, vektor yang saling tegak lurus dengan vektor a = 3i + j + 2k dan vektor b = –j + 2k adalah a × b = 4i – 6j –3k.

Demikianlah tadi ulasan materi perkalian silang vektor atau vector cross product yang meliputi rumus umumnya dan proses melakukan perkalian silang vektor. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Baca Juga: Perbandingan Vektor (Dalam dan Luar)

Sumber gini.com